Unterrichtsbausteine Mathematik

Gleichung

gleichung.html 16.05.2018

1. Gleichung umformen
2. Umkehroperation
3. Reihenfolge von Operationen
4. Reihenfolge der Umkehroperationen
5. Beispiel mit Klammerrechnung
6. Hilfestellung zur Überprüfung

Gleichungen kann man sich als zweiarmige Hebelwaage vorstellen.

Eine Waage ist im Gleichgewicht, wenn sich auf der rechten Seite der Waage die gleiche Masse befindet wie auf der linken Seite.
Eine Gleichung ist wahr oder auch richtig, wenn sich auf der rechten Seite der Gleichung der gleiche Zahlenwert befindet wie auf der linken Seite. Es ist offensichtlich gleichgültig (bedeutet: gleich gültig), von welcher Seite man die Waage oder Gleichung betrachtet. Damit hat man bereits eine Rechenregel:

Eine Gleichung behält ihre Gültigkeit, wenn ihre Seiten vertauscht werden.

Das kann man mit Zahlen zeigen:

7 + 12 = 19

ebenso wie

19 = 7 + 12.

Um zu zeigen, dass diese Gesetzmäßigkeiten für alle Zahlen gilt, verwendet man statt Zahlen Platzhalter und nennt diese Platzhalter Variablen. Für Variable schreibt man Buchstaben. Also

a + b = c

und

c = a + b.

Allerdings kann man mit diesen Variablen kein "Endergebnis" als Zahl erwarten. In dieser Form der Gleichung steckt nur eine Aussage, die den Wert wahr oder falsch besitzt.

Das Ergebnis einer Gleichung kann nur wahr oder falsch sein, ebenso wie eine Waage im Gleichgewicht oder Ungleichgewicht sein kann.

In Zahlen

7 + 19 = 19

ebenso wie falsch

19 = 7 + 19,

Mit Variablen ausgedrückt

a + c = c ist falsch

und

c = a + c ist ebenfalls falsch.

Damit diese falsche Aussage gilt, darf a nicht Null sein, denn

0 + 19 = 19 ist richtig!

Allgemeine Gleichungen haben also Bedingungen zu erfüllen, unter denen sie richtig (wahr) sind.

Gleichungen mit bestimmten Zahlen sind immer entweder richtig oder falsch.
Gleichungen mit Variablen sind nur unter bestimmten Bedingungen richtig oder falsch.

Ist die Gleichung nach c aufgelöst. Das bedeutet, dass die Variable c allein auf einer Seite des Gleichgeitszeichens steht.

Um die Variablen a oder b allein auf einer Seite stehen zu haben, muss die Gleichung umgeformt werden. Man sagt auch: die Gleichung muss nach a oder b aufgelöst werden.

Beginnen wir mit den Grundrechnungsarten +, -, * und /.

Man kann, ohne die Gleichung ins Ungleichgewicht zusetzen, auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechentätigkeit ausführen. 

Wenn man zum Beispiel auf beiden Gleichungsseiten b abzieht, so erhält man

(a + b) - b = (c) - b;

a = c - b.

Somit steht a allein auf einer Seite.

Anmerkung: Die Klammern nur zur Verdeutlichung der ursprünglichen Seite der Gleichung gesetzt.

Entsprechend kann man ach nach b auflösen und erhält dann

a - b = c - b;

a = c - b.

Gleichung umformen

Strichrechnung

Bei der folgenden Gleichung verfährt man sinngemäß:

a * b = c

Dividiert man beide Seiten durch b, so erhält :

a * b / b = c / b.

Durch das Dividieren hat man die Multiplikation mit b "neutralisiert", denn *b/b ist das Gleiche wie *1 und damit ergibt sich

a * 1 = c / b

a = c / b.

Gleichung umformen

Punktrechnung

2. Umkehroperation

Eine Rechenoperation, die das Gegenteil einer anderen Rechenoperation bewirkt, nennt man Umkehroperation. Es gibt zu jeder Operation eine Umkehroperation.

Um eine Variablen von einer Seite der Gleichung auf die andere Seite zu bekommen, wendet man die umgekehrte Rechenoperation der Operation, die vor der Variablen steht, auf beiden Seiten an. Im ersten Beispiel sollte ursprünglich b addiert werden, die Umkehroperation war die Subtraktion von b.

Im zweiten Fall sollte a mit b multipliziert werden, die Umkehroperation war das Dividieren durch b auf beiden Seiten.

3. Reihenfolge von Operationen

Sind auf einer Seite einer Gleichung mehrere Operationen auszuführen, sind Regeln für die Reihenfolge der Operationen zu beachten.
Für die Reihenfolge, in denen Operationen gilt:

Punktrechnung geht vor Strichrechnung!

Klammern werden vor der Punktrechnung ausgeführt.

4.  Reihenfolge der Umkehroperationen

Will man eine Variable auf einer Seite der Gleichung freistellen, so wendet man zuerst die Umkehroperation an, deren Operation als letzte Operation ausgeführt werden würde.

Im Beispiel möchte man a freistellen:

a * b - c = d + e * f

Bei einer Berechnung würde man zuerst a mit b multiplizieren und danach c subtrahieren.

Beim Gleichungauflösen kehrt man daher die letzte Operation zuerst um: man addiert auf beiden Seiten zuerst +c bevor man durch b dividiert.

(a * b - c) + c = (d + e * f) + c

(a * b) / b = (d + e * f + c) / b

a = d/b + e*f/b + c/b.

5. Beispiel mit Klammerrechnung

Gegeben ist die Gleichung, nun jedoch mit Klammer auf der linken Seite.

a * (b - c) = d + e * f

Dadurch wird die Multiplikation mit (b-c) zur letzten Operation, die auf der linken Seite durchgeführt werden müsste. Sie wird zum Auflösen nach a daher als erste Operation umgekehrt.

[(a * (b - c)] / (b-c)= [d + e * f] / (b-c).

Die Umkehroperation ist so gewählt, dass sich der Faktor (b-c) auf der linken Seite der Gleichung herauskürzen lässt. Es ergibt sich daher

a = [d + e * f] / (b-c).

Anmerkung: Wichtig sind die eckigen Klammern nur auf der rechten Seite der Gleichung, da ja immer die ganze Seite einer Gleichung die Umkehroperation durchlaufen muss.

Daher ist das gleichbedeutend mit

a = [d / (b-c)] + [e * f / (b-c)].

6. Hilfestellung zur Überprüfung

Oftmals ist es nützlich, gerade bei der Umformung komplizierter Gleichungen eine Kontrolle durchzuführen, ob man richtig umgeformt hat. Das Kontrollieren durch wiederholtes Umformen birgt die Gefahr, dass man auch beim wiederholten Umformen den gleichen Fehler wiederholt. Daher ist es besser, die Umformung mit einfachen , möglichst teilerfremden, Zahlen zu kontrollieren.

Setzt man für die Variablen in der Gleichung

a * (b - c) = d + e * f

Zahlen ein, so dass auf der linken und rechten Seite der Gleichung das gleiche herauskommt, so muss das auch nach dem richtigen Umformen gelten.

Wählt man beispielsweise zunächst für a bis e die unten stehenden Zahlen

1 * (2 - 3) = 5 + 7 * f, dann ergibt die linke Seite -1.

Nun ergänzt man f so, dass auch auf der rechten Seite -1 herauskommt.

Es muss also 5 + (-6) auf der rechten Seite stehen.

Das ist dann der Fall, wenn 7 * f = -6 ist. Daraus folgt

f = -6/7.

Nun lautet die vollständige Ausgangsgleichung mit Zahlen

1 * (2 - 3) = 5 + 7 * (-6/7).

Nun soll die Umgeformte Gleichung

a = [d / (b-c)] + [e * f / (b-c)]

kontrolliert werden.

Dazu setzt man die gleichen Zahlen für die varialblen a bis f ein und erhält

1 = [5/(2-3)] + [7 * (-6/7)/ (2-3)]

Dann ergibt sich für (2-3) = -1

1 = [5 /-1] + [7 * (-6/7) / -1]

1 = [-5] + [-6/-1]

1 = -5 +6

1 = 1

Die Umformung war demnach richtig.

Grundlage: 

Weitere Links:

Übung zur Gleichungsumformung