Fächer: Mathematik

mathematik.html 14.03.2023

Inhaltsverzeichnis

 
 

Vorwort

Die folgenden Ausführungen erheben keinen Anspruch auf Richtigkeit, obwohl ich mir Mühe geben, Fehler zu vermeiden und, falls sie mir zur Kenntnis gebracht wurden, auch zu entfernen. Ich selbst bin kein Mathematiker. Die Texte über Mathematik hier sind nur aus verschiedenen Quellen zusammengetragen.

Das Internet ist voll von qualifizierten Texten zur Mathematik. Ich mache hier einen Versuch, mein Wissen aufzuschreiben und zu ergänzen. Die jeweiligen Quellen sind genannt.

Die Gliederung folgt weitgehend dem Werk vonGöllmann . Wenn es mir sinnvoll erschien, wurden Ergänzungen und Abweichungen vorgenommen. Nach und nach werden die Abschnitte ergänzt, so wie mein persönlicher Bedarf besteht und es meine Zeit erlaubt.

Die Vektorrechnung setzt die Kenntnis der Geometrie voraus. Hier folgt die Gliederung der lexikonartigen Darstellung von Hoffmann , ergänzt durch eigene Kommentare.

 

 
 

Gliederung

0. Geschichtliche Entwicklung der Mathematik

1. Grundlagen

  • Mengen, Zahlen und Gleichungen
    • Mengen
    • Aussagen, Gleichungen und Ungleichungen
    • Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen
    • Rechnen mit reellen Zahlen
    • Potenzen, Wurzeln und Logarithmen
    • Indexschreibweise und Summenschreibweise
    • Fakultät und Binomialkoeffizienten
    • Lösen von Gleichungen
    • Lösen von Ungleichungen
    • Reelle Punktmengen
    Funktionen
    • Grundlegende Begriffe und Eigenschaften
    • Polynome und rationale Funktionen
    • Partialbruchzerlegung
    • Potenz und Wurzelfunktionen
    • exponential- und Logarithmusfunktionen
    • Trigonometrische Funktionen
    • Hyperbelfunktionen
    • Weitere Funktionen
  • Komplexe Zahlen
    • Grundbegriffe und kartesische Form
    • Rechnen in kartesischer Darstellung
    • Die Polarformkomplexer Zahlen
    • Die Exponentiaform komplexer Zahlen
    • Schwingungen, Zeiger und komplexe Zahlen
    • Polynome und algebraische Gleichungen

2. Analysis

  • Folgen, Konvergenz und Reihen
    • Reelle Folgen
    • Konvergenz und Divergenz
    • Beschränktheit und Monotonie
    • Eigenschaften konvergenter Folgen
    • Differenzfolgen
    • Reihen
    • Konvergenzkriterien für Reihen
    • Die Exponentialreihe
  • Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
    • Funktionen einer reellen Variablen
    • Grenzwerte bei Funktionen und Stetigkeitsbegriff
    • Beschränkte und monotone Funktionen
    • Natürlicher Logarithmus und allgemeine Exponentialfunktion
    • Differenzialrechnung einer Variablen
      • Differenzen und Differenzialquotient
      • Grundregeln für die Differenziation
      • Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion
      • Ableitung der trigonometrischen Grundfunktionen und ihrer lokalen Umkehrung
      • Kurvenuntersuchung und Extremwerte
      • Grenzwertbestimmung
    • Intergralrechnung einer Variablen
      • Das bestimmte Integral
      • das unbestimmte Integral
      • Elementare Regeln zur Integration
      • Rotationskörper
      • Bogenlänge einer Kurve
      • Uneigentliche Integrale
      • Reihenentwicklungen
        • Potenzreihen
        • Taylor-Entwicklung
        • Fourier-Reihen

      3. Lineare Algebra

      • Vektorrechnung
        • Grundlagen der Vektorrechnung
        • Vektoroperationen
        • Ebene Vektoren
        • Vektoren im Raum
      • Analytische Geometrie
        • Das Skalarprodukt von Vektoren im Raum
        • Das Vektorprodukt
        • Geometrische snwendungen der Vektorrechnung
      • Vektorräume und lineare Abbildungen
        • Der n-dimensionale reelle Raum
        • Euklidische Vektorräume
        • Allgemeine reelle oder komplexe Vektorräume
      • Matrizen und lineare Gleichungssysteme
        • Matrizen und Gleichungssysteme
        • Matrizenoperationen
        • Matrizen, lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme
      • Determinaten und invertierbaren Matrizen
        • Determinanten einer 2 x 2 - und einer 3 x 3 -Matrix
        • Die Determinante einer n x n -Matrix
        • Determinanten und invertierbare Matrizen
        • Orthogonale Matrizen und Isometrien
      • Eigenwerte und Normalform
        • Eigenwerte und Eigenvektoren
        • Diagonalisierbarkeit
        • Normalformen

      4. Statistik

      • Eindimensionale deskriptive Statistik
        • Was soll das eigentlich mit der Statistik?
        • Grundbegriffe
        • Grafiļ¬sche Darstellungen von Daten
        • Empirische Verteilungsfunktionen
        • Histogramme
        • Kenngrößen von Daten
      • Zweidimensionale deskriptive Statistik
        • Zusammenhangsuntersuchung bei nominalen Merkmalen
        • Zusammenhangsuntersuchung bei ordinalen Merkmalen
        • Zusammenhangsuntersuchung bei quantitativen Merkmalen
      • Wahrscheinlichkeitsrechnung
        • Wahrscheinlichkeitsraum, Ereignisse, Wahrscheinlichkeiten
        • Bedingte Wahrscheinlichkeiten
        • Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
        • Zufallsvariablen
        • Verteilungen von Zufallsvariablen und ihre Kenngrößen
        • Stochastische Unabhängigkeit und Unkorreliertheit von Zufallsvariablen
        • Rechenregeln für Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
        • Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
      • Induktive Statistik
        • Statistische Schätzverfahren
        • Hypothesentests

      5. Geometrie

      • Planimetrie
        • Grundelemente
        • Dreieck
        • Achsenspiegelung
        • Grundkonstruktionen
        • Besondere Dreiecke
        • Dreieckskonstruktionen
        • Punktspiegelung
        • Vierecke
        • Vielecke
        • Drehung
        • Kreis
        • Kreismessung
        • Streckenverhältnisse
        • Zentrische Streckung
        • Ähnlichkeit
      • Trigonometrie
        • Winkelmessung
        • Winkelfunktionen am rechtwickligen Dreieck
        • Zusammenhänge
        • Beliebige Winkel
        • Additionstheoreme
        • Winkelfunktionen am allgemeinen Dreieck
        • Trigonometrische Gleichungen
      • Stereometrie
        • Allgemeine Regeln
        • Würfel, Quader, Prisma
        • Pyramide
        • Zylinder, Kegel
        • Kugel
        • Kugelteile

      Literatur

       

 

0. Geschichtliche Entwicklung der Mathematik

 

 

 

1. Grundlagen

 

 

2. Analysis

 

 

3. Lineare Algebra

 

 

4. Statistik

 

 

 

Literatur

Göllmann, Laurenz et al.: Mathematik für Ingenieure: Verstehen - Rechnen - Anwenden, Bd. I (pdf_Inhaltsverzeichnis); Vorkurs, Analysis in einer Variablen, Lineare Algebra, Statistik; Springer Vieweg Verlag Berlin (2017); ISBN 978-3-662-53866-1, ISBN 978-3-662-53867-1 (eBook), DOI 10.1007/978-3-662-53867-8
Band I (pdf, 529 Seiten)

Hoffmann, Manfred: Mathematik Aktuelles Grundwissen; Compact Verlag , München (?); ISBN 978-3-8174-9098-1

Föll, Helmut: Allgemeine Materialwissenschaft, Hyperscripte; Christian-Albrechts-Universität zu Kiel, Allgemeine Naturwissenschaften,->Hyperscripte->Math for Mat.Sci und ->Comp. Math

Wikipedia: Mathematik;

GeoBra: Mathematik, Unterrichten und Lernen; enthält eine Vielzahl von Java-programmierten Modellrechnungen und Rechenprogrammen