1. Normalform

allgemeine Gleichung:

ax² +bx + c = 0; mit a ≠ 0

mit b = 0 heißt sie reinquadratische Gleichung.

mit p = b/a und q = c/a kommt man zur Nornalform einer quadratischen Gleichung x² + px + q = 0.

Die Anzahl der Lösungen (Nullstellen) lässt sich mit der Diskriminante D bestimmen, wobei D = p - 4q ist.

Man unterscheidet drei Fälle:

• D ist positiv: die Gleichung hat zwei Lösungen mit reelen Zahlen
• D = 0: die Gleichung hat eine Lösung
• D negativ: die Gleichung hat keine Lösung mit reelen Zahlen, wohl aber zwei Lösungen mit konjugiert komplexen Zahlen

quadratische Gleichung wikipedia

2. Satz von Vieta

Sind x₁ und x₂ die beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung so gilt:

p = - ( x₁ + x₂) und

q = x₁ * x₂

Satz des Vieta wikipedia

Für den Fall, dass D positiv oder 0 ist, gilt: x_1,2 = -p/2 ± √(p²/4 -q);

Für D negativ gilt: x_1,2 = -p/2 ± √(q - p²/4);

4. allgemeine Lösung durch quadratische Ergänzung

Aus p lässt sich eine quadratische Ergänzung d berechnen, mit der man leicht die Lösungen x_1,2 erhält.

Dazu bringt man die Normaltform in die Form einer binomischen Form mit d = -p/2 :

x² + px + d² - d² + q = 0;

(x + d)² = d² - q

Beispiel:

x² + 8x - 65 = 0;

x² + 8x + 16 - 16 - 65 = 0;

(x + 4)² = 16 + 65;

Wurzel ziehen: x + 4 = ±9

Lösungen x_1,2 = 5; x₂ = -13;

Probe mit dem Satz von Vieta:

p = - ( 5 - 13 ); p = 8

q = 5 * (- 13); q= - 65

Quadratische Ergänzung wikipedia

Klaus-G. Häusler; haeusler[at]muenster[dot]de